2023 #

概要 #

今年は西暦2023年です．Twitter で知ったのですが¹，2023という数について，以下の式が成り立つのだそうです．

指数まで対応しておりとてもきれいですね．

このような整数はレアケースすぎるので，少しだけ一般化した以下の問題を考えます．

Problem 1. 整数 \(x=\sum_{j=0}^{n-1}a_j10^j\) \((0\le a_j\le 9,j=0,1,\dots,n-1)\) に対して， \[ \prod_{k=1}^K\sum_{j=0}^{n-1}a_j^{i_k}=x \] を満たす整数 \(K\ge1\), \(1\le i_1\le\cdots\le i_K\) が存在するかを判定せよ．存在する場合はこの方程式を満たす \((i_1,i_2,\dots,i_K)\) をひとつ求めよ．

たとえば， \(x=2023\) の場合， \((a_0,a_1,a_2,a_3)=(3,2,0,2)\) であり， \((i_1,i_2,i_3)=(1,2,2)\) です．

本ページでは，この問題を解く方法を考え，具体的に解を求めてみます．

解法 #

解がある場合は， \(i\ge1\) について \(\sum_{j=0}^{n-1}a_j^i\mid x\) となる最小の \(i\) を求めて， \(x'=x/\sum_{j=0}^{n-1}a_j^i\) に対して \(\sum_{j=0}^{n-1}a_j^{i'}\mid x'\) を満たす \(i'\ge i\) を求めることを再帰的に行えば求まります．ただし， \(A\mid B\) とは， \(A\) が \(B\) を割り切るという意味です．

解をもたない場合は，ある \(i\ge1\) で \(\sum_{j=0}^{n-1}a_j^i>x\) となるので，解をもたないことが判定ができます．

具体的にいえば，以下の手続きで \(\mathtt{Solve}(a,x,1)\) が \(\emptyset\) であれば解なし，そうでなければその戻り値が解のひとつになります．

Algorithm 2. \(\mathtt{Solve}(a, x, i)\) の擬似コードを以下で定める．ただし，\((a_1,\dots,a_n)\in\mathbb{N}^n,(b_1,\dots,b_m)\in\mathbb{N}^m\) に対して，\(\mathtt{append}(a,b)=(a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_m)\in\mathbb{N}^{n+m}\) とする．

• Input: \(a\in\mathbb{N}^n,x\in\mathbb{N},i\in\mathbb{N}\)
• Output: \(\prod_{k=1}^K\sum_{j=0}^{n-1}a_j^{i_k}=x,i\le i_1\le\dots\le i_K\) を満たす \((i_1,i_2,\dots,i_K)\)

1. if \(\max(a)\le1\) then
2.   if \(i>1\) then return \(\emptyset\)
3.   if \(\sum_{j=0}^{n-1}a_j=x\) then return \((1)\)
4.   else return \(\emptyset\)
5. end if
6. for \(i’=i,i+1,\dots\) do
7.   \(y\leftarrow\sum_{j=0}^{n-1}a_j^{i’}\)
8.   if \(y>x\) then return \(\emptyset\)
9.   if \(y=x\) then return \((i’)\)
10.   if \(y\mid x\) then
11.     \(L\leftarrow\mathtt{Solve}(a,x/y,i’)\)
12.     if \(L=\emptyset\) then return \(\emptyset\)
13.     else return \(\mathtt{append}((i’),L)\)
14.   end if
15. end for

Python 3.x による実装例は以下のとおりです．実行には NumPy が必要です．

\(0\le x<100000\) の場合 #

Algorithm 2. に基づき \(0\le x<100000\) について解をもつ \(x\) とその解のひとつを並べると以下のようになります．

• \(0^1=0\)
• \(1^1=1\)
• \(2^1=2\)
• \(3^1=3\)
• \(4^1=4\)
• \(5^1=5\)
• \(6^1=6\)
• \(7^1=7\)
• \(8^1=8\)
• \(9^1=9\)
• \((8^1+1^1)^2=81\)
• \((1^1+3^1+3^1)(1^2+3^2+3^2)=133\)
• \(1^3+5^3+3^3=153\)
• \((3^1+1^1+5^1)(3^2+1^2+5^2)=315\)
• \(3^3+7^3+0^3=370\)
• \(3^3+7^3+1^3=371\)
• \(4^3+0^3+7^3=407\)
• \((5^1+1^1+2^1)^3=512\)
• \((8^1+0^1+3^1)(8^2+0^2+3^2)=803\)
• \((1^1+1^1+4^1+8^1)(1^2+1^2+4^2+8^2)=1148\)
• \((1^1+2^1+1^1+5^1)(1^3+2^3+1^3+5^3)=1215\)
• \((1^1+5^1+4^1+7^1)(1^2+5^2+4^2+7^2)=1547\)
• \(1^4+6^4+3^4+4^4=1634\)
• \((2^1+0^1+2^1+3^1)(2^2+0^2+2^2+3^2)^2=2023\)
• \((2^1+1^1+9^1+6^1)(2^2+1^2+9^2+6^2)=2196\)
• \((2^1+4^1+0^1+0^1)(2^2+4^2+0^2+0^2)^2=2400\)
• \((2^1+4^1+0^1+1^1)^4=2401\)
• \((2^1+5^1+1^1+1^1)^2(2^2+5^2+1^2+1^2)=2511\)
• \((3^1+7^1+0^1+0^1)(3^3+7^3+0^3+0^3)=3700\)
• \(4^5+1^5+5^5+0^5=4150\)
• \(4^5+1^5+5^5+1^5=4151\)
• \((4^1+9^1+1^1+3^1)^3=4913\)
• \((5^1+8^1+3^1+2^1)^3=5832\)
• \(8^4+2^4+0^4+8^4=8208\)
• \(9^4+4^4+7^4+4^4=9474\)
• \((1^1+1^1+6^1+8^1+0^1)(1^3+1^3+6^3+8^3+0^3)=11680\)
• \((1^1+3^1+6^1+0^1+8^1)(1^3+3^3+6^3+0^3+8^3)=13608\)
• \((1^1+7^1+5^1+7^1+6^1)^3=17576\)
• \((1^1+9^1+6^1+8^1+3^1)^3=19683\)
• \((2^1+4^1+6^1+2^1+4^1)^2(2^2+4^2+6^2+2^2+4^2)=24624\)
• \((3^1+2^1+1^1+4^1+4^1)^2(3^3+2^3+1^3+4^3+4^3)=32144\)
• \((3^1+7^1+0^1+0^1+0^1)^2(3^3+7^3+0^3+0^3+0^3)=37000\)
• \((4^1+1^1+5^1+0^1+0^1)(4^5+1^5+5^5+0^5+0^5)=41500\)
• \((4^3+2^3+0^3+2^3+5^3)^2=42025\)
• \((5^1+2^1+2^1+1^1+5^1)(5^2+2^2+2^2+1^2+5^2)^2=52215\)
• \(5^5+4^5+7^5+4^5+8^5=54748\)
• \((8^2+3^2+1^2+6^2+0^2)(8^3+3^3+1^3+6^3+0^3)=83160\)
• \((8^1+7^1+9^1+4^1+9^1)(8^3+7^3+9^3+4^3+9^3)=87949\)
• \(9^5+2^5+7^5+2^5+7^5=92727\)
• \(9^5+3^5+0^5+8^5+4^5=93084\)

\(2023\) と同じ解をもつのは \(2400,52215\) であることがわかります．

また，解をもつ整数の割合は \(0\le x<100000\) の範囲では \(50/100000\) なので，割合としてはそれほどないことがわかります．

まとめ #

本ページでは \(2023=(2+0+2+3)(2^2+0^2+2^2+3^2)^2\) であることに着目し，類似の性質をもつ整数を具体的に求めました．その結果，割合としてはそのような整数はそれほどないことがわかりました．

Problem 1. において，解をもつ場合はひとつだけ求める問題としていますが，複数もつ場合については考えていません．また，複数解をもつ場合があるのかも検証していません．さらに，解をもつ整数の密度も明らかではありません．

複数解をもつ場合への考慮や，解をもつ整数の密度についての検討は今後の課題とします．