ラプラス分布と切断ラプラス分布 #

概要 #

本ページでは，ラプラス分布と切断ラプラス分布の定義を述べ，切断ラプラス分布の確率密度関数，累積分布関数を具体的に求めます．

ラプラス分布と切断ラプラス分布の定義 #

まずは，ラプラス分布を定義します．切断ラプラス分布に従う確率変数に \(X\) の文字を使うため，ラプラス分布に従う確率変数には \(Y\) を使います．

Definition 1. \(\mu,b\in\mathbb{R}\), \(b>0\) とする．連続的確率変数 \(Y:(\Omega,\mathfrak{F})\to(\mathbb{R},\mathfrak{B}[\mathbb{R}])\) の確率密度関数 \(f_Y\) が \[ f_Y(y;\mu,b)=\frac{1}{2b}\exp\left(-\frac{|y-\mu|}{b}\right) \] と表されるとき，\(Y\) を ラプラス分布 に従う確率変数であるという．

ラプラス分布はどのような実数でもとり得る分布ですが，これを区間 \([A,B]\,(A\le B)\) に制限した分布を 切断ラプラス分布 といいます．

Definition 2. \(\mu,b\in\mathbb{R}\), \(b>0\), \(A,B\in\mathbb{R}\), \(A\le B\) とする．連続的確率変数 \(X:(\Omega,\mathfrak{F})\to(\mathbb{R},\mathfrak{B}[\mathbb{R}])\) の確率密度関数 \(f_X\) が \[ f_X(x;\mu,b,A,B)=\begin{cases} \dfrac{1}{2bC}\exp\left(-\dfrac{|x-\mu|}{b}\right),&A\le x\le B,\\ 0,&\text{otherwise} \end{cases} \] と表されるとき，\(X\) を 切断ラプラス分布 に従う確率変数であるという．

切断ラプラス分布の確率密度関数 #

以下，Definition 2 の \(C\) を具体的に求めてみます． \(C\) は \(\mu,b,A,B\) から決まるので， \(C_{\mu,b}(A,B)\) と表します．

まず， \(Y\) をパラメータ \(\mu,b\) であるラプラス分布に従う確率変数としたとき，その累積分布関数 \(F_Y(y;\mu,b)\) を求めます．

累積分布関数の定義より， \[ \begin{aligned} F_Y(y;\mu,b)&=\int_{-\infty}^yf_Y(t;\mu,b)dt\\ &=\int_{-\infty}^y\frac{1}{2b}\exp\left(-\frac{|t-\mu|}{b}\right)dt \end{aligned} \] となります．積分範囲を \(y<\mu\) , \(y\ge\mu\) に分けて計算を行います．

まず \(y<\mu\) のとき， \(t < y\) ならば \(t-\mu < y-\mu<0\) なので， \[ \begin{aligned} F_Y(y;\mu,b)&=\int_{-\infty}^y\frac{1}{2b}\exp\left(\frac{t-\mu}{b}\right)dt\\ &=\left[\frac{1}{2}\exp\left(\frac{t-\mu}{b}\right)\right]_{-\infty}^y\\ &=\frac{1}{2}\exp\left(\frac{y-\mu}{b}\right)\\ &=\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{|y-\mu|}{b}\right) \end{aligned} \] となります．

一方， \(y\ge\mu\) のとき， \(t\ge\mu\) ならば \(t-\mu\ge0\) なので， \[ \begin{aligned} F_Y(y;\mu,b)&=\int_{-\infty}^\mu\frac{1}{2b}\exp\left(\frac{t-\mu}{b}\right)dt+\int_\mu^y\frac{1}{2b}\exp\left(-\frac{t-\mu}{b}\right)dt\\ &=\left.\frac{1}{2}\exp\left(\frac{y-\mu}{b}\right)\right|_{y=\mu}+\left[-\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{t-\mu}{b}\right)\right]_\mu^y\\ &=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{y-\mu}{b}\right)+\frac{1}{2}\right)\\ &=1-\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{y-\mu}{b}\right)\\ &=1-\frac{1}{2}\exp\left(-\frac{|y-\mu|}{b}\right) \end{aligned} \] となります．

よって， \[ F_Y(y;\mu,b)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}\exp\left(-\dfrac{|y-\mu|}{b}\right),&y<\mu,\\ 1-\dfrac{1}{2}\exp\left(-\dfrac{|y-\mu|}{b}\right),&y\ge\mu \end{cases} \] となります．

\(X\) がパラメータ \(\mu,b,A,B\) の切断ラプラス分布に従う確率変数であるなら， \[ \int_{-\infty}^\infty f_X(x;\mu,b,A,B)dx=1 \] を満たします．

ここで， \(Y\) を（ \(X\) と同じ）パラメータ \(\mu,b\) のラプラス分布に従う確率変数とすると， \[ \begin{aligned} 1&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{2bC}\exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)dx\\ &=\frac{1}{C}\int_A^B\frac{1}{2b}\exp\left(-\frac{|x-\mu|}{b}\right)dx\\ &=\frac{1}{C}(F_Y(B;\mu,b)-F_Y(A;\mu,b)) \end{aligned} \] となります．よって， \[ C=F_Y(B;\mu,b)-F_Y(A;\mu,b) \] とわかります．パラメータ \(\mu,b,A,B\) を明示して書くと， \[ C_{\mu,b}(A,B)=F_Y(B;\mu,b)-F_Y(A;\mu,b) \] です．

以上より，次のことがわかります．

Proposition 3. \(\mu,b\in\mathbb{R}\), \(b>0\), \(A,B\in\mathbb{R}\), \(A\le B\) とする． \[ C_{\mu,b}(A,B)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}\left(\exp\left(-\dfrac{|B-\mu|}{b}\right)-\exp\left(-\dfrac{|A-\mu|}{b}\right)\right),&A\le B<\mu,\\ 1-\dfrac{1}{2}\left(\exp\left(-\dfrac{|B-\mu|}{b}\right)+\exp\left(-\dfrac{|A-\mu|}{b}\right)\right),&A\le\mu\le B,\\ -\dfrac{1}{2}\left(\exp\left(-\dfrac{|B-\mu|}{b}\right)-\exp\left(-\dfrac{|A-\mu|}{b}\right)\right),&\mu<A\le B \end{cases} \] とする．連続的確率変数 \(X:(\Omega,\mathfrak{F})\to(\mathbb{R},\mathfrak{B}[\mathbb{R}])\) の確率密度関数 \(f_X\) が \[ f_X(x;\mu,b,A,B)=\begin{cases} \dfrac{1}{2bC_{\mu,b}(A,B)}\exp\left(-\dfrac{|y-\mu|}{b}\right),&A\le x\le B,\\ 0,&\text{otherwise} \end{cases} \] を満たすとき，\(X\) は切断ラプラス分布に従う確率変数である．

切断ラプラス分布の累積分布関数 #

切断ラプラス分布に従う確率変数の累積分布関数を求めます．

\(A\le x\le B\) ならば， \[ \begin{aligned} &F_X(x;\mu,b,A,B)\\ &=\int_{-\infty}^xf_X(t;\mu,b,A,B)dt\\ &=\int_{-\infty}^x\frac{1}{2bC_{\mu,b}(A,B)}\exp\left(-\frac{|t-\mu|}{b}\right)dt\\ &=\frac{F_Y(x;\mu,b)-F_Y(A;\mu,b)}{C_{\mu,b}(A,B)} \end{aligned} \] です．ただし， \(F_Y(y;\mu,b)\) は，パラメータ \(\mu,b\) のラプラス分布に従う確率変数の累積分布関数です．そして， \(x < A\) ならば \(F_X(x;\mu,b,A,B)=0\) , \(x>B\) ならば \(F_X(x;\mu,b,A,B)=1\) です．

通常のラプラス分布とあわせてまとめると以下のようになります．

Proposition 4.
\(Y\) をパラメータ \(\mu,b\) のラプラス分布に従う確率変数とする．\(Y\) の累積分布関数 \(F_Y(y;\mu,b)\) は， \[ F_Y(y;\mu,b)=\begin{cases} \dfrac{1}{2}\exp\left(-\dfrac{|y-\mu|}{b}\right),&y<\mu,\\ 1-\dfrac{1}{2}\exp\left(-\dfrac{|y-\mu|}{b}\right),&y\ge\mu \end{cases} \] と表される．
\(X\) をパラメータ \(\mu,b,A,B\) の切断ラプラス分布に従う確率変数とする．\(X\) の累積分布関数 \(F_X(x;\mu,b,A,B)\) は， \[ \begin{aligned} &F_X(x;\mu,b,A,B)\\ &=\begin{cases} 0,&x<A,\\ \dfrac{F_Y(x;\mu,b)-F_Y(A;\mu,b)}{C_{\mu,b}(A,B)},&A\le x\le B\\ 1,&x>B \end{cases} \end{aligned} \] と表される．

まとめ #

本ページでは，ラプラス分布と切断ラプラス分布の定義を述べ，切断ラプラス分布の確率密度関数，累積分布関数を具体的に求めました．

切断ラプラス分布の確率密度関数の議論から，ラプラス分布の累積分布関数が簡単な形で表せることで（Prop. 4も参照），切断ラプラス分布の確率密度関数や，累積分布関数も具体的に書き下せることがわかります．