サイコロをN回投げたときちょうど6回に1回の割合で1の目が出る確率 #

概要 #

前ページでは，サイコロを繰り返し投げる試行の確率モデルを定義しました．

本ページからは，サイコロを繰り返し投げると，およそ6回に1回程度の割合で1の目が出ることを確認します．

しかし，そもそもこれはどのように確認したらよいのでしょうか．

本ページではひとまず，ちょうど 6回に1回の割合で1の目が出る確率を計算してみます．

まず，サイコロを \(N\) 回投げたとき \(k\) 回だけ1の目が出る確率を求めます．その後，サイコロを繰り返し投げたとき，ちょうど 6回に1回の割合で1の目が出る確率を求めます．

サイコロをN回投げたときk回だけ1の目が出る確率 #

いま，確率空間 \((\Omega_N,\mathfrak{F}_N,P_N)\) を考えます． \(A_k=\{(\omega^j)\in\Omega_N\mid |\{j\mid \omega^j=\omega_1\}|=k\}\) とすると， \(A_k\) は \(N\) 回サイコロをなげて \(k\) 回だけ1の目が出た事象を表します．

\((\omega^j)\in A_k\) とすると， \(\omega^1,\omega^2,\dots,\omega^N\) のうち \(k\) 個が \(\omega_1\) ですが，これは \(N\) 個から \(k\) 個を選ぶ選び方を考えればよいので， \(\binom{N}{k}=N!/(k!(N-k)!)\) 個あります．

このとき，ある \(\{i_1,i_2,\dots,i_k\}\subset\{1,2,\dots,N\}\) について， \(k\) 個の要素 \(\omega^{i_j}\,(j=1,2,\dots,k)\) は \(\omega_1\) の1通りの値しかとれませんが，それ以外の \(N-k\) 個の要素は \(\omega_2,\omega_3,\dots,\omega_6\) の5通りの値をとれます．

したがって， \(|A_k|=\binom{N}{k}5^{N-k}\) とわかります．さらに， \(|\Omega_N|=6^N\) なので， \(P_N(A_k)=\binom{N}{k}5^{N-k}/6^N\) となります．

よって，以下のことがいえそうです．

Proposition 1. 偏りのないサイコロを \(N\) 回投げて \(k\) 回だけ1の目が出る確率は \[ \binom{N}{k}\frac{5^{N-k}}{6^N} \] となる．

ちょうど6回に1回の割合で1の目が出る確率 #

Prop. 1 を使って，ちょうど 6回に1回の割合で1の目が出る確率を計算してみます．

Prop. 1 より， \(N\) 回サイコロを投げて，ちょうど \(\lfloor N/6\rfloor\) 回1の目が出る確率 \(p(N)\) は，

と表せます．ただし， \(\lfloor x\rfloor=\max\{y\in\mathbb{Z}\mid y\le x\}\) とします．

\(N=1,2,\dots,1000\) の \(p(N)\) の値を図示すると以下のようになります．

\(N\) を大きくすると，ちょうど 6回に1回の割合で1の目が出る確率は小さくなっていくことがわかります．たとえば， \(N=1000\) のときは \(3\%\) 程度なので，比較的まれな現象といえそうです．

つまり，サイコロを1回だけ投げて1の目が出る確率が \(1/6\) であるということは，ちょうど 6回に1回の割合で1の目が出るというわけではないことがわかりました．

まとめ #

本ページでは，サイコロを繰り返し投げるとき，ちょうど 6回に1回の割合で1の目が出る確率を計算しました．

その結果，確率としては小さい値となり，サイコロを1回だけ投げて1の目が出る確率が \(1/6\) であるということは，ちょうど 6回に1回の割合で1の目が出るというわけではないことがわかりました．