指数関数の定積分 #
概要 #
本ページでは，指数関数に関するいくつかの定積分の求め方と結果を説明します． 指数関数 \(\exp:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) とは， \[ \exp(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!} \] で定められる関数であり， \(\exp'(x)=\exp(x)\) が成り立つことが知られています．
本ページでは，以下の定積分の求め方と結果をまとめます．
- \(\int_{\alpha}^{\beta}\exp(x)dx\)
- \(\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax+b)dx\quad(a\not=0)\)
- \(\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax^2+bx+c)dx\quad(a<0)\)
ただし，以下の関数を既知とします．この関数は，相補誤差関数と呼ばれ，たとえば C++ の標準ライブラリで std::erfc として定義されています．
Definition 1. 相補誤差関数 \(\mathrm{erfc}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) を以下のように定める．
\[ \mathrm{erfc}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty}\exp(-t^2)dt. \]
定積分1 #
まず， \(\int_{\alpha}^{\beta}\exp(x)dx\) を計算します． これは， \(\exp'(x)=\exp(x)\) なので， \[ \int_{\alpha}^{\beta}\exp(x)dx=\exp(\beta)-\exp(\alpha) \] です．
定積分2 #
次に，
\(\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax+b)dx\ (a\not=0)\)
を計算します．
これには，[1, 定理5.6] を利用します．
Theorem 2. 関数 \(f,\phi\) が次の 1–4 を満たすと仮定する．
- \(f(x)\) は区間 \(I=[a,b]\)\) で連続，
- \(\phi(t)\) は区間 \(J=[\alpha,\beta]\) で微分可能，
- \(\phi'(t)\) は \(J\) で有界可積分（例えば連続），
- \(\phi(J)\subset I\), \(\phi(\alpha)=a\), \(\phi(\beta)=b\).
このとき，次の等式が成り立つ． \[ \int_a^bf(x)dx=\int_{\alpha}^{\beta}f(\phi(t))\phi'(t)dt. \]
いま， \(y=ax+b\) とすると，
- \(x=(y-b)/a\) ,
- \(dx/dy=1/a\) ,
- \(y=a\alpha+b\) ならば \(x=\alpha\) ,
- \(y=a\beta+b\) ならば \(x=\beta\) ,
- \(y\in[a\alpha+b,a\beta+b]\) ならば， \((y-b)/a\in[\alpha,\beta]\)
なので，
\[ \begin{aligned} &\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax+b)dx\\ &=\int_{a\alpha+b}^{a\beta+b}\exp(y)\frac{dx}{dy}dy\\ &=\frac{1}{a}\int_{a\alpha+b}^{a\beta+b}\exp(y)dy\\ &=\frac{1}{a}(\exp(a\beta+b)-\exp(a\alpha+b)) \end{aligned} \] となります． ただし，最後の等号は定積分1を使いました．
定積分3 #
最後に \(\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax^2+bx+c)dx\ (a<0)\) を計算します． \(a\not=0\) より， \[ ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a} \] です． よって， \[ \begin{aligned} &\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax^2+bx+c)dx\\ &=\int_{\alpha}^\beta\exp\left(a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)dx\\ &=\exp\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\int_{\alpha}^\beta\exp\left(a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\right)dx \end{aligned} \]
いま， \(y=x+b/(2a)\) とすると，
- \(x=y-b/(2a)\) ,
- \(dx/dy=1\) ,
- \(y=\alpha+b/(2a)\) ならば \(x=\alpha\) ,
- \(y=\beta+b/(2a)\) ならば \(x=\beta\) ,
- \(y\in[(\alpha+b/(2a)),(\beta+b/(2a))]\) ならば， \(y-b/(2a)\in[\alpha,\beta]\)
なので，
\[ \begin{aligned} &\int_{\alpha}^\beta\exp\left(a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2\right)dx\\ &=\int_{\alpha+b/(2a)}^{\beta+b/(2a)}\exp(ay^2)\frac{dx}{dy}dy\\ &=\int_{\alpha+b/(2a)}^{\beta+b/(2a)}\exp(ay^2)dy\\ \end{aligned} \] ですが， \(a<0\) より， \(a=-(\sqrt{-a})^2\) なので， \[ \begin{aligned} &\int_{\alpha+b/(2a)}^{\beta+b/(2a)}\exp(ay^2)dy\\ &=\int_{\alpha+b/(2a)}^{\beta+b/(2a)}\exp(-(\sqrt{-a}\,y)^2)dy \end{aligned} \] となります．
ここで， \(s=\sqrt{-a}\,y\) とすると，
- \(y=s/\sqrt{-a}\) ,
- \(dy/ds=1/\sqrt{-a}\) ,
- \(s=\sqrt{-a}(\alpha+b/(2a))\) ならば \(y=\alpha+b/(2a)\) ,
- \(s=\sqrt{-a}(\beta+b/(2a))\) ならば \(y=\beta+b/(2a)\)
- \(s\in[(\sqrt{-a}(\alpha+b/(2a))),(\sqrt{-a}(\beta+b/(2a)))]\) ならば， \(s/\sqrt{-\alpha}\in[\alpha+b/(2a),\beta+b/(2a)]\)
なので，
\[ \begin{aligned} &\int_{\alpha+b/(2a)}^{\beta+b/(2a)}\exp(-(\sqrt{-a}\,y)^2)dy\\ &=\int_{\sqrt{-a}(\alpha+b/(2a))}^{\sqrt{-a}(\beta+b/(2a))}\exp(-s^2)\frac{dy}{ds}ds\\ &=\frac{1}{\sqrt{-a}}\left(\int_{\sqrt{-a}(\alpha+b/(2a))}^{\infty}-\int_{\sqrt{-a}(\beta+b/(2a))}^{\infty}\right)\exp(-s^2)ds\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-a}}\left(\mathrm{erfc}\left(\sqrt{-a}\left(\alpha+\frac{b}{2a}\right)\right)-\mathrm{erfc}\left(\sqrt{-a}\left(\beta+\frac{b}{2a}\right)\right)\right) \end{aligned} \] となります．
したがって， \[ \begin{aligned} &\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax^2+bx+c)dx\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-a}}\exp\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\\ &\quad\times\left(\mathrm{erfc}\left(\sqrt{-a}\left(\alpha+\frac{b}{2a}\right)\right)-\mathrm{erfc}\left(\sqrt{-a}\left(\beta+\frac{b}{2a}\right)\right)\right) \end{aligned} \] となります．
まとめ #
本ページでは，指数関数に関する以下の定積分を計算しました．
- \(\int_{\alpha}^{\beta}\exp(x)dx\)
- \(\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax+b)dx\)
- \(\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax^2+bx+c)dx\quad(a<0)\)
結果は以下のとおりです．
Proposition 3. 以下が成り立つ．
\[ \int_{\alpha}^{\beta}\exp(x)dx=\exp(\beta)-\exp(\alpha). \]
- 次の式が成り立つ．
\[ \begin{aligned} &\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax+b)dx\\ &=\frac{1}{a}(\exp(a\beta+b)-\exp(a\alpha+b)). \end{aligned} \]
- 次の式が成り立つ．
\[ \begin{aligned} &\int_{\alpha}^{\beta}\exp(ax^2+bx+c)dx\\ &=\frac{\sqrt{\pi}}{2\sqrt{-a}}\exp\left(-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\\ &\quad\times\left(\mathrm{erfc}\left(\sqrt{-a}\left(\alpha+\frac{b}{2a}\right)\right)-\mathrm{erfc}\left(\sqrt{-a}\left(\beta+\frac{b}{2a}\right)\right)\right). \end{aligned} \]
- \(a<0\) のとき，次の式が成り立つ．
