多項式 #
概要 #
実数 \(a_0,a_1,\dots,a_n\) に対し， \(X\) という文字を導入して作られる \[ a_nX^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1X+a_0 \] は 多項式 と呼ばれます． \(3X^2+2X-1\) や \(X\) がその例ですが， \(X,Y\) という2種類の文字を使った \(3X^2-3XY+2X-Y+1\) や，3つ以上の文字を使った \(3XYZ+2Y\) も多項式と呼ばれます．
本ページでは，この多項式の定義についてまとめます． 用語や構成は [1] を参考にしました．
用語の定義 #
本論の前に，いくつかの用語と記号を定義します．
添字づけられた族 #
\(\Lambda,M\) を集合とします． \(a\) を \(\Lambda\) から \(M\) への写像とします． \(\lambda\in\Lambda\) に対する \(a(\lambda)\) を \(a_{\lambda}\) と表し， \(a\) を \((a_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\) と表すことがあります． \((a_{\lambda})_{\lambda\in\Lambda}\) を 添字づけられた族 といい， \(\Lambda\) を 添字集合， \(\lambda\in\Lambda\) を 添字 と呼びます．
また，任意の \(\lambda\in\Lambda\) に対して \(\alpha_\lambda=\alpha\) となる \(\alpha\in M\) が存在するとき， \((\alpha_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) を \((\alpha)_{\lambda\in\Lambda}\) と書くことがあります．
例えば， \(\Lambda=\{1,2,\dots,\}\) として \(M\) を実数全体の集合 \(\mathbb{R}\) とすると， \((a_n)_{n\in\Lambda}\) は実数列 \((a_n)_{n=1,2,\dots}\) となります． よって，添字付けられた族は，数列を一般化した定義と捉えることもできます．
集合族 #
\(\mathfrak{M}\) を集合とし， \(\mathfrak{M}\) の元もまた集合であるとします． \(\Lambda\) を集合とし， \(M\) を \(\Lambda\) から \(\mathfrak{M}\) への写像とします． このとき， \(\Lambda\) を添字集合とする添字付けられた族 \((M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) を 集合族 といいます．
直積 #
集合族 \((M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) に対して， \(x\) を \(\Lambda\) から \(\bigcup_{\mu\in\Lambda}M_\mu\) への写像とします． このとき， \[ \prod_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda=\{(x_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\mid\forall\lambda\in\Lambda\,(x_\lambda\in M_\lambda)\} \] を，集合族 \((M_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}\) の 直積 といいます．
任意の \(\lambda\in\Lambda\) について \(M_\lambda=M\) なる集合 \(M\) が存在するとき， \(\prod_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda=\prod_{\lambda\in\Lambda}M\) を \(M^\Lambda\) と表します．
二項演算 #
\(S\) を集合とします． \(S\times S\) から \(S\) への写像を， \(S\) における 二項演算 といいます． \(\alpha:S\times S\to S\) を \(S\) における二項演算とするとき， \(x,y\in S\) に対する \(\alpha(x,y)\) を \(x\alpha y\) と書きます．
例えば，実数上の通常の加算 \(+\) や乗算 \(\cdot\) は実数全体の集合 \(\mathbb{R}\) における二項演算ですが， \(x,y\in\mathbb{R}\) に対して， \(+(x,y)\) や \(\cdot(x,y)\) を \(x+y,x\cdot y\) と表します．
特に， \(\alpha\) として記号 \(\cdot\) を用いるとき， \(x\cdot y\) は \(xy\) と表されることがあります．
単位的可換半群 #
\(S\) を集合とします． \(S\) における二項演算 \(+:S\times S\to S\) , \(0\in S\) に対して， \[ \begin{aligned} &\forall x,y,z\in S\,(x+(y+z)=(x+y)+z),\\ &\forall x\in S\,(0+x=x+0=x),\\ &\forall x,y\in S\,(y+x=x+y) \end{aligned} \] が成り立つとき， \((S,+,0)\) は 単位的可換半群 をなすといいます． 単に， \(S\) は単位的可換半群をなす，ということもあります．
詳しくは述べませんが，単位的可換半群をなすとは，単位的であること，可換であること，半群をなすことを意味します． 上式では，上から順に，半群をなすこと，単位的であること，可換であることを要請しています．
例えば， \(\mathbb{N}\) を0以上の整数全体の集合とするとき， \((\mathbb{N},+,0)\) は単位的可換半群をなします．
単位的可換環 #
\(R\) を集合とし， \(+,\cdot\) を2つの異なる \(R\) における二項演算とします． \(0,1\in R\) とし， \(0\neq1\) とします． \[ \begin{aligned} &\forall x,y,z\in R\,(x+(y+z)=(x+y)+z),\\ &\forall x\in R\,(0+x=x+0=x),\\ &\forall x\in R\,\exists y\in R\,(y+x=x+y=0),\\ &\forall x,y\in R\,(y+x=x+y),\\ &\forall x,y,z\in R\,(x(yz)=(xy)z),\\ &\forall x,y,z\in R\,(x(y+z)=xy+xz),\\ &\forall x,y,z\in R\,((x+y)z=xz+yz),\\ &\forall x,y\in R\,(yx=xy),\\ &\forall x\in R\,(x1=1x=x) \end{aligned} \] であるとき， \((R,+,\cdot,0,1)\) は 単位的可換環 をなすといいます． 単に， \(R\) は単位的可換環をなす，ということもあります．
単位的可換半群と同じく，単位的可換環も，単位的であること，可換であること，環をなすことを意味しますが， 一番下の \(\forall x\in R\,(x1=1x=x)\) が単位的であること，その上の \(\forall x,y\in R\,(yx=xy)\) が可換であること，それ以外が環をなすことを要請しています．
例えば， \(\mathbb{Z}\) を整数全体の集合とするとき， \((\mathbb{Z},+,\cdot,0,1)\) は単位的可換環をなします．
体 #
\(k\) を集合とし， \(+,\cdot\) を2つの異なる \(k\) における二項演算とします． \(0,1\in R\) とし， \(0\neq1\) とします． \[ \begin{aligned} &\forall x,y,z\in k\,(x+(y+z)=(x+y)+z),\\ &\forall x\in k\,(0+x=x+0=x),\\ &\forall x\in k\,\exists y\in k\,(y+x=x+y=0),\\ &\forall x,y\in k\,(y+x=x+y),\\ &\forall x,y,z\in k\,(x(yz)=(xy)z),\\ &\forall x,y,z\in k\,(x(y+z)=xy+xz),\\ &\forall x,y,z\in k\,((x+y)z=xz+yz),\\ &\forall x,y\in k\,(yx=xy),\\ &\forall x\in k\,(x1=1x=x),\\ &\forall x\in k\,\exists y\in k\,(x\neq0\implies xy=yx=1) \end{aligned} \] であるとき， \((k,+,\cdot,0,1)\) は 体 をなすといいます． 単に， \(k\) は体をなす，ということもあります．
体は単位的可換環に対して，最後の \(\forall x\in k\,\exists y\in k\,(x\neq0\implies xy=yx=1)\) を付け加えたものです．
例えば， \(\mathbb{Q}\) を有理数全体の集合とするとき， \((\mathbb{Q},+,\cdot,0,1)\) は体をなします．
単位的可換多元環 #
\(R,A\) をそれぞれ単位的可換環とします． \(R\) の単位元を \(1_R\) と表します．
\(R\times A\) から \(A\) への写像を \(\cdot:R\times A\to A\) として， \(a,\in R,x\in A\) に対する \(a\cdot x\) を \(ax\) と表すことにします．
\[ \begin{aligned} &\forall a\in R\,\forall x,y\in A\,(a(x+y)=ax+ay),\\ &\forall a,b\in R\,\forall x\in A\,((a+b)x=ax+bx),\\ &\forall a,b\in R\,\forall x\in A((ab)x=a(bx)),\\ &\forall x\in A\,(1_Rx=x),\\ &\forall a\in R\,\forall x,y\in A\,(a(xy)=(ax)y=x(ay)) \end{aligned} \] が成り立つとき， \(A\) は \(R\) の上の 単位的可換多元環 といいます．
\(k\) を体とすると，体は単位的可換環の特別な場合なので， \(R=k\) のとき， \(A\) は \(k\) の上の単位的可換多元環であるといいます．
多項式の定義 #
\(\mathbb{N}\) を0以上の整数全体の集合とします． つまり， \(\mathbb{N}=\{0,1,\dots\}\) とします．
\(K\) を空でない集合とします． \(\mathbb{N}^{(K)}\) を以下の通り定義します．
\[ \mathbb{N}^{(K)}=\left\{\left.(x_{\kappa})_{\kappa\in K}\in\mathbb{N}^K\,\right|\,\text{有限個の } \kappa\in K \text{ を除いて } x_{\kappa}=0\right\}. \]\((x_{\kappa})_{\kappa\in K}\) , \((y_{\kappa})_{\kappa\in K}\) に対し， \((x_{\kappa}+y_{\kappa})_{\kappa \in K}\) を考えると， \(x_{\kappa}+y_{\kappa}\neq0\) となる \(\kappa\in K\) は有限個なので， \((x_{\kappa}+y_{\kappa})_{\kappa\in K}\in\mathbb{N}^{(K)}\) となります．
これをもとに， \(\mathbb{N}^{(K)}\) 上の二項演算 \(+\) を以下の通り定義します．
\[ +:\mathbb{N}^{(K)}\times\mathbb{N}^{(K)}\ni((x_{\kappa})_{\kappa\in K},(y_{\kappa})_{\kappa\in K})\mapsto(x_{\kappa}+y_{\kappa})_{\kappa\in K}\in\mathbb{N}^{(K)} \]\(x,y\in\mathbb{N}^{(K)}\) に対して \(+(x,y)\) を \(x+y\) と書くと， \(y+x=x+y\) となります． よって， \(0=(0)_{\kappa\in K}\) とすると， \((\mathbb{N}^{(K)},+,0)\) は 単位的可換半群 をなすといえます．
\(k\) を体とします． \(k^{(\mathbb{N}^{(K)})}\) を， \[ k^{(\mathbb{N}^{(K)})}=\left\{\left.(x_{\lambda})_{\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}}\in k^{\mathbb{N}^{(K)}}\right|\text{有限個の } \lambda\in\mathbb{N}^{(K)} \text{ を除いて } x_{\lambda}=0\right\} \]
とします．
\(\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}\) に対して \(e_\lambda\in k^{(\mathbb{N}^{(K)})}\) を， \(e_\lambda=(\delta_{\kappa\lambda})_{\kappa\in\mathbb{N}^{(K)}}\) で定めます． ただし， \(\delta_{ij}\) は
\[ \delta_{ij}=\begin{cases} 1,\quad i=j,\\ 0,\quad i\neq j \end{cases} \]で定めます（クロネッカーのデルタ）．
すると，任意の \(u\in k^{(\mathbb{N}^{(K)})}\) に対して，有限個の \(\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}\) を除いて \(a_\lambda=0\) であるような \((a_{\lambda})_{\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}}\) が存在し，
\[ u=\sum_{\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}}a_\lambda e_\lambda \]と表せます．
集合 \(E\subseteq k^{(\mathbb{N}^{(K)})}\) を \(E=\{e_\lambda\mid\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}\}\) とします． 集合 \(E\) 上の二項演算 \(\cdot\) を以下で定義します．
\[ \cdot:E\times E\ni(e_{(x_{\kappa})_{\kappa\in K}},e_{(y_{\kappa})_{\kappa\in K}})\mapsto e_{(x_{\kappa}+y_{\kappa})_{\kappa\in K}}\in E. \]\(e,f\in E\) に対して \(\cdot(e,f)\) を \(ef\) と書くと， \(ef=fe\) となります． また， \(1_{k^{(\mathbb{N}^{(K)})}}=e_{(0)_{\kappa\in K}}\) とおくと， \((E,\cdot,1_{k^{(\mathbb{N}^{(K)})}})\) も 単位的可換半群 をなします．
\(k^{(\mathbb{N}^{(K)})}\) 上の二項演算 \(+,\cdot\) を以下のように定めます． \(u,v\in k^{(\mathbb{N}^{(K)})}\) に対して， \[ \begin{aligned} &u=\sum_{\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}}a_\lambda e_\lambda,\\ &v=\sum_{\mu\in\mathbb{N}^{(K)}}b_\mu e_\mu \end{aligned} \] とします． このとき， \[ \begin{aligned} &u+v=\sum_{\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}}(a_\lambda+b_\lambda)e_\lambda,\\ &uv=\sum_{\begin{subarray}{c}\lambda,\mu,\nu\in\mathbb{N}^{(K)},\\[3pt]\lambda+\mu=\nu\end{subarray}}a_\lambda b_\mu e_\nu \end{aligned} \] とします．
\(0_{k^{(\mathbb{N}^{(K)})}}=(0)_{\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}}\) , \(1_{k^{(\mathbb{N}^{(K)})}}=e_{(0)_{\kappa\in K}}\) とすると， \((k^{(\mathbb{N}^{(K)})},+,\cdot,0_{k^{(\mathbb{N}^{(K)})}},1_{k^{(\mathbb{N}^{(K)})}})\) は 単位的可換環 をなします．
ここで， \(P(k,K)=k^{(\mathbb{N}^{(K)})}\) と表すことにして， \(P(k,K)\) を \(K\) の上の多項式環 と呼び， \(k\) を \(P(k,K)\) の 係数体 と呼びます．
\(\kappa\in K\) に対し， \(\delta_\kappa\in\mathbb{N}^{(K)}\) を \(\delta_\kappa=(\delta_{\nu\kappa})_{\nu\in K}\) とします． このとき， \(\kappa\in K\) に対し， \(X_\kappa\in P(k,K)\) を \(X_\kappa=e_{\delta_\kappa}\) とします．
すると， \((n_\kappa)_{\kappa\in K}\in\mathbb{N}^{(K)}\) に対する \(e_{(n_{\kappa})_{\kappa\in K}}\) は
\[ e_{(n_{\kappa})_{\kappa\in K}}=\prod_{\kappa\in K}X_\kappa^{n_\kappa} \]と表されます． ただし， \(e_{(0)_{\kappa\in K}}=1_{P(k,K)}\) です．
先ほど述べたように，任意の \(u\in P(k,K)\) に対して，有限個の \(\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}\) を除いて \(a_\lambda=0\) であるような \((a_{\lambda})_{\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}}\) が存在し，
\[ u=\sum_{\lambda\in\mathbb{N}^{(K)}}a_\lambda e_\lambda \]が成り立ちますが，これはさらに，
\[ u=\sum_{(n_\kappa)_{\kappa\in K}\in\mathbb{N}^{(K)}}a_{(n_\kappa)_{\kappa\in K}}\prod_{\kappa\in K}X_\kappa^{n_\kappa} \]と表せます．
このように書かれた \(u\) を 不定元 \(X_\kappa\) の \(k\) の上の 多項式 と呼びます．
\[ a_{(n_\kappa)_{\kappa\in K}}\prod_{\kappa\in K}X_\kappa^{n_\kappa} \]を多項式 \(a\) の 項 といい， \(a_{(n_\kappa)_{\kappa\in K}}\) をその項の 係数，または \(\prod_{\kappa\in K}X_\kappa^{n_\kappa}\) の 係数 といいます． さらに， \(a_{(0)_{\kappa\in K}}1_{k[X_\kappa]_{\kappa\in K}}\) と \(a_{(0)_{\kappa\in K}}\) を同一視し， \(a_{(0)_{\kappa\in K}}\) を \(u\) の 定数項 といいます．
\(P(k,K)\) の元をすべて \(\{X_\kappa\}_{\kappa\in K}\) を使って表すとき，， \(P(k,K)\) を \(k[X_\kappa]_{\kappa\in K}\) と書き， \(\{X_\kappa\}_{\kappa\in K}\) の多項式環 と呼びます． 特に， \(K\) が有限集合なら \(X_1,X_2,\dots,X_n\) と書いて， \(k[X_1,X_2,\dots,X_n]\) と書いたり， \(n=1\) なら \(k[X]\) と書いたりします．
代入 #
\(P(k,K)=k[X_\kappa]_{\kappa\in K}\) を多項式環とし， \(\phi:K\to k[X_\kappa]_{\kappa\in K}\) を \[ \phi:K\ni \kappa\mapsto X_\kappa\in k[X_\kappa]_{\kappa\in K} \] で定めます． \((P',+,\cdot,0_{P'},1_{P'})\) を \(k\) の上の単位的可換多元環とし， \(\alpha\) を \(K\) から \(P'\) への写像とします． このとき， \[ \begin{aligned} &\alpha=F\circ \phi,\\ &\forall u,v\in k[X_\kappa]_{\kappa\in K}\,(F(u+v)=F(u)+F(v)),\\ &\forall u,v\in k[X_\kappa]_{\kappa\in K}\,(F(uv)=F(u)F(v)),\\ &F(1_{k[X_\kappa]_{\kappa\in K}})=1_{P'} \end{aligned} \] を満たす \(F:k[X_\kappa]_{\kappa\in K}\to P'\) が存在することが知られています．
この \(F\) を 代入写像 といいます．
\(u\in k[X_\kappa]_{\kappa\in K}\) とすると， \[ u=\sum_{(n_\kappa)_{\kappa\in K}\in\mathbb{N}^{(K)}}a_{(n_\kappa)_{\kappa\in K}}\prod_{\kappa\in K}X_\kappa^{n_\kappa} \] と表せますが，この \(F\) による像 \(F(u)\) は \[ F(u)=F\left(\sum_{(n_\kappa)_{\kappa\in K}\in\mathbb{N}^{(K)}}a_{(n_\kappa)_{\kappa\in K}}\prod_{\kappa\in K}X_\kappa^{n_\kappa}\right)=\sum_{(n_\kappa)_{\kappa\in K}\in\mathbb{N}^{(K)}}a_{(n_\kappa)_{\kappa\in K}}\prod_{\kappa\in K}\alpha_\kappa^{n_\kappa} \] となります．
特に \((n_\kappa)_{\kappa\in K}=(0)_{\kappa\in K}\) に対応する級数 \(F(u)\) の項は \(a_{(0)_{\kappa\in K}}1_{P'}\) になります．
この \(F(u)\in P'\) を， \(u\) に \((\alpha_\kappa)_{\kappa\in K}\) を代入したときの \(u\) の 値 といいます．
おわりに #
本ページでは，多項式の定義についてまとめました．
多項式の係数は体の元である必要はないのですが，今後の議論のために体に限定しています． また，詳細についてはほとんど触れられていないので，詳しい議論は [1] をご参照ください．
